הרחבות חוגים (אלגברה)

באלגברה, הרחבת חוג של חוג R על ידי חבורה חילופית I היא זוג ( E, ϕ {\displaystyle \phi } ) המורכב מחוג E והומומורפיזם חוגי ϕ {\displaystyle \phi } שמתאים לרצף המדויק הקצר של חבורות חילופיות: 0 → I → E → ϕ R → 0. {\displaystyle 0\to I\to E{\overset {\phi }{{}\to {}}}R\to 0.} יש לזכור כי I הוא אז אידיאל דו צדדי של E. בהינתן חוג חילופי A, הרחבת-A מוגדרת באותו אופן על ידי החלפת "חוג" עם " אלגברה על A" ו "חבורה חילופית" עם "מודול - A ". נאמר כי הרחבה היא טריוויאלית אם ϕ {\displaystyle \phi } מתפצל; כְּלוֹמַר, ϕ {\displaystyle \phi } נותן קטע שהוא הומומורפיזם . מורפיזם בין הרחבות R על ידי I, על, לדוגמה, A, הוא הומומורפיזם אלגברה E → E ' המשרה את הזהויות ב- I ו- R. לפי למת החמישה, מורפיזם כזה הוא בהכרח איזומורפיזם, ולכן שתי הרחבות שוות ערך אם יש מורפיזם ביניהן.