מספרים הטרנסנדנטליים

במתמטיקה מספר טרנסצנדנטי הוא מספר שאינו מאפס שום פולינום בעל מקדמים רציונליים. מספרים טרנסצנדנטיים נודעים הם הקבועים המתמטיים π ו־e (ראו טרנסצנדנטיות של פאי). כל מספר טרנסצנדנטי הוא מספר אי-רציונלי, אך ההפך אינו נכון: 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} , למשל, הוא מספר אי־רציונלי שאינו מספר טרנסצנדנטי, שכן הוא פתרון למשוואה הפולינומית x 2 − 2 = 0 {\displaystyle x^{2}-2=0} . למונח הוצע גם השם העברי מספר נעלה. מספר שאינו טרנסצנדנטי נקרא אלגברי. במבט ראשון נראים המספרים הטרנסצנדנטיים חריגים, וברור שאין אנו מרבים לפגוש אותם בחיי היומיום, אך ניתן להוכיח שכמעט כל המספרים הם טרנסצנדנטיים. את התכונה הזאת הוכיח בשנת 1874 גאורג קנטור. הוא הראה שעוצמת קבוצת המספרים האלגבריים היא ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} (קרי: אָלֶף אֶפֶס), ואילו עוצמת קבוצת המספרים הטרנסצנדנטיים היא ℵ = 2 ℵ 0 {\displaystyle \aleph =2^{\aleph _{0}}} . ההוכחה שמספר נתון כלשהו הוא מספר טרנסצנדנטי איננה פשוטה. קיומם של מספרים טרנסצנדנטיים הוכח לראשונה בשנת 1844 בידי המתמטיקאי הצרפתי ז'וזף ליוביל, והתוצאה קרויה על שמו: משפט ליוביל. על סמך המשפט נתן ליוביל בשנת 1851 דוגמה ראשונה למספר טרנסצנדנטי הנקרא קבוע ליוביל: ∑ k = 1 ∞ 10 − k ! = 0.110001000000000000000001000 … {\displaystyle \sum _{k\,=\,1}^{\infty }10^{-k!}=0.110001000000000000000001000\ldots } במספר ליוביל הספרה ה־n מימין לנקודה העשרונית היא 1 כאשר n הוא עצרת, ו־0 אחרת (ראו קירובים רציונליים, להלן). המספר הראשון שהוכח שהוא מספר טרנסצנדנטי, מבלי שהמספר נבנה מלכתחילה למטרה זו, הוא הקבוע המתמטי e. את ההוכחה סיפק שארל הרמיט בשנת 1873 (ראו טרנסצנדנטיות של e). בשנת 1882 הוכיח פרדיננד לינדמן את משפט לינדמן שקובע, בין השאר, ש־ π {\displaystyle \ \pi } (פאי) הוא מספר טרנסצנדנטי. מהוכחה זו נובע שלא ניתן לבנות בסרגל ובמחוגה ריבוע השווה בשטחו לעיגול נתון, משום שלא ניתן לבנות עימם יחס טרנסצנדנטי. הוכחה זו פתרה את בעיית ריבוע העיגול, שהיא אחת מן הבעיות הגאומטריות של ימי קדם, שראשיתן ביוון העתיקה.