מודולים היטליים (אלגברה)

באלגברה הומולוגית, מודול פרויקטיבי מעל חוג R {\displaystyle R} הוא מודול P {\displaystyle P} בעל התכונה הבאה: כל הומומורפיזם g : P → M {\displaystyle g:P\rightarrow M} מתפצל דרך כל הטלה f : N → M {\displaystyle f:N\rightarrow M} ; כלומר - במקרה כזה תמיד קיים הומומורפיזם h : P → N {\displaystyle h:P\rightarrow N} כך ש- g = f ∘ h {\displaystyle g=f\circ h} . מודולים פרויקטיביים מהווים הכללה של המודולים החופשיים (אלו שיש להם בסיס): כל מודול חופשי הוא פרויקטיבי. ההגדרה של מודולים פרויקטיביים בשפה של מורפיזמים מאפשרת גמישות רבה, והופכת אותם למרכיב יסודי באלגברה הומולוגית. מנקודת המבט הזו, התכונה המרכזית היא שמודול P {\displaystyle P} הוא פרויקטיבי אם ורק אם הפונקטור Hom ⁡ ( P , − ) {\displaystyle \operatorname {Hom} (P,-)} הוא מדויק. חוג הוא פשוט למחצה אם ורק אם כל המודולים שלו פרויקטיביים. כל מודול חסר פיתול נוצר סופית מעל חוג דדקינד הוא פרויקטיבי. את תכונת הפרויקטיביות אפשר להגדיר בכל קטגוריה. לדוגמה, בקטגוריה של החבורות, כל חבורה פרויקטיבית היא חופשית (והחבורה היחידה שהיא אינג'קטיבית היא החבורה הטריוויאלית).