מרחבי וקטורים

באלגברה ליניארית, מרחב וקטורי (קרוי גם מרחב ליניארי) הוא מערכת מתמטית מעל שדה, שבה מוגדרות פעולות של חיבור שני איברים, וכפל של איבר בסקלר מן השדה. איברי המערכת נקראים וקטורים. המרחב האוקלידי התלת־ממדי, בו ניתן לסמן כל נקודה על ידי שלושה מספרים ממשיים, הוא מרחב וקטורי. התכונות של המרחב הווקטורי קיימות במבנים מתמטיים רבים בתחומים שונים כגון אנליזה, אלגברה, מכניקה ותורת הקוונטים. לעיתים וקטורים מסומנים בסימון מיוחד כדי להבדילם מסקלרים, למשל וקטור u ∈ V {\displaystyle u\in V} יכול להיות מסומן גם u _ {\displaystyle {\underline {u}}} , u ¯ {\displaystyle {\overline {u}}} , u → {\displaystyle {\vec {u}}} או u {\displaystyle \mathbf {u} } . בהנחת אקסיומת הבחירה, לכל מרחב וקטורי יש בסיס. כל הבסיסים של מרחב וקטורי הם בעלי אותו גודל, שהוא הממד של המרחב. הממד הוא המאפיין היחיד של מרחב וקטורי: כל שני מרחבים בעלי אותו ממד הם איזומורפיים זה לזה.