אנליזה פונקציונלית

אָנָלִיזָה פוּנְקְצְיוֹנָלִית הוא ענף של אנליזה מתמטית העוסק בחקר התכונות של וקטורים, פונקציונלים ואופרטורים הפועלים במרחבים ליניאריים בעלי מושג של אורך (נורמה) של וקטור. מרחבים כאלה נקראים מרחבים נורמיים. אנליזה פונקציונלית עוסקת בעיקר במרחבים נורמיים שלמים שהם מרחבים ליניאריים מעל המספרים הממשיים או המספרים המרוכבים. מרחבים אלה נקראים מרחבי בנך. דוגמה חשובה ומיוחדת של מרחבי בנך אלו הם המרחבים בהם הנורמה נובעת ממכפלה פנימית. מרחבים אלו נקראים מרחבי הילברט. כמו כן עוסקת האנליזה הפונקציונלית בתורת האופרטורים על מרחבים אלו. יתרה מכך, האנליזה הפונקציונלית מרבה לחקור את הפונקציונלים המוגדרים על מרחב נורמי X, מרחב זה נקרא "המרחב הדואלי של X". באמצעות הפונקציונלים הליניאריים אפשר גם להגדיר טופולוגיה חלשה על X ואף טופולוגיה דואלית על המרחב הדואלי. בחקר המרחבים הדואליים חוקרים גם את המרחב הדואלי של המרחב הדואלי (שהוא לא תמיד שווה בחזרה ל-X). תרומה מרכזית לפיתוחה של האנליזה הפונקציונלית נעשתה על ידי אסכולת לבוב במתמטיקה בראשות סטפן בנך.